Herleitung der Hamilton'schen Bewegungsgleichungen

Zur Herleitung der Hamilton'schen Bewegungsgleichungen betrachten wir das totale Differential der Hamiltonfunktion \(H(q,p,t)\).
$$dH=\sum_{i}\frac{\partial H}{\partial q_{i}}dq_{i}+\sum_{i}\frac{\partial H}{\partial p_{i}}dp_{i}+\frac{\partial H}{\partial t}dt$$


Auf der anderen Seite hängt die Hamiltonfunktion mit der Lagrangefunktion über \( H=\sum_{i}p_{i}\dot{q_{i}}-L \) zusammen, da \(-H\) die Legendre-Transformierte der Lagrangefunktion ist.

Allgemein überführt die Legendre-Transformation eine Funktion f(x) in eine Funktion g(u) mit der unabhängigen Variable u, die die Ableitung von f(x) nach x ist. Anschaulich bedeutet das ein Übergang vom Graphen der Funktion zur Schar der Tangenten an diesen Graphen. Übergibt man der Legendre-Transformierten eine Steigung m als Argument, so liefert sie den y-Achsenabschnitt der Tangente an f mit der Steigung m. Damit die Transformation eindeutig ist, muss die Ableitung von f monoton sein. Bei der Legendre-Transformation n der Lagrange-Funktion findet ein Übergang von den Geschwindigkeiten \(q_{i}\) zu den Impulsen \(p_{i}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q_{i}}}\) statt.

Wir können das totale Differential also auch auf einem zweiten Weg berechnen.
\[ dH=d(\sum_{i}p_i \dot{q_{i}} - L ) = \sum_{i}(\dot{q_{i}}dp_i + p_{i}d\dot{q_i}) - dL \]

\(dL\) ist die totale Zeitableitung der Lagrangefunktion \(L(q,\dot{q},t)\).

\[ dL=\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial q_{i}}dq_{i}+\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}d\dot{q_{i}}+\frac{\partial L}{\partial t}dt \]

Damit folgt mit \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}} = p_{i}\) und \(\frac{\partial L}{\partial q_{i}} = \dot{p_{i}}\)

\[ dH = \sum_{i}(\dot{q_{i}}dp_i + p_{i}d\dot{q_i})
-\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial q_{i}}dq_{i}-\sum_{i}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}d\dot{q_{i}}-\frac{\partial L}{\partial t}dt \]

\[ = \sum_{i}\dot{q_{i}}dp_{i} + \sum_{i}p_{i}d\dot{q_{i}}
-\sum_{i}p_{i}d\dot{q_{i}}-\sum_{i}\dot{p_{i}}dq_{i}-\frac{\partial L}{\partial t}dt\]

\[ = \sum_{i}\dot{q_{i}}dp_{i} - \sum_{i}\dot{p_{i}}dq_{i}
-\frac{\partial L}{\partial t}dt.\]

Ein Vergleich des zuletzt gewonnenen Ausdrucks für \(dH\) mit dem obigen lässt schließlich auf die Hamilton'schen Bewegungsgleichungen (kanonische Bewegungsgleichungen) schließen.
\[ \frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\dot{q_{i}}  \qquad \frac{\partial H}{\partial q_{i}}=-\dot{p_{i}}\ \qquad \frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}\]

ὅπερ ἔδει δεῖξαι


2015-12-23 11:38:46