Wie viele Karten werden für ein Kartenhaus benötigt?


Quelle: Wikimedia Commons

Je höher ein Kartenhaus, desto mehr Karten werden für seinen Bau benötigt, das ist offensichtlich. Ein einstöckiges Kartenhaus besteht nur aus zwei gegeneinander gestellten Karten. Bei einem zweistöckigen Kartenhaus werden 7 Karten verbaut. Ein dreistöckiges Kartenhaus braucht 15 Karten.

Weiteres Nachzählen liefert die in der folgenden Tabelle dokumentierten Zahlen.

Anzahl der Stockwerke n Benötigte Karten Zusätzliche Karten
1 2 +2
2 7 +5
3 15 +8
4 26 +11
5 40 +14
6 57 +17

Es fällt auf, das die Anzahl an Karten, die bei einer Aufstockung von n-1 zu n Stockwerken zusätzlich zu den bei n-1 Stockwerken verbauten Karten benötigt werden, stets um 3 zunimmt und deshalb mit \(2+ 3(n-1)\) angegeben werden kann.

Somit beträgt die Anzahl der in n Stockwerken verbauten Karten \[k(n) = 2 + \sum_{i = 1}^{n-1} (2 + 3i),\]wobei die Summe über alle aufstockungsbedingten Zusatzkartensätze summiert.

Da es sich um eine Summe über zwei additiv verknüpfte Ausdrücke handelt, kann sie auseinandergezogen werden und vereinfacht sich zu \[k(n) = 2 + \sum_{i = 1}^{n-1} (2 + 3i) = 2+ 2(n-1) + 3 \sum_{i=1}^{n-1}i .\]

Beim zweiten Summenteil hilft die Gaußsche Summenformel \(\sum_{i=1}^{n-1}i = \frac{(n-1)n}{2}\) ab.

\[k(n) = 2 + \sum_{i = 1}^{n-1} (2 + 3i) = 2+ 2(n-1) + 3 \frac{(n-1)n}{2}\]

Weiteres Zusammenfassen führt schließlich auf

\[k(n) = 2+ 2n -2 + \frac{3}{2} n^2 - \frac{3}{2}n = \frac{1}{2}n (3n + 1)\]

und wir erhalten als Ergebnis, dass ein n-Stöckiges Kartenhaus \(\frac{1}{2}n (3n + 1)\) Karten benötigt.

 


2016-04-10 19:54:10