Lagrange-Mechanik: Zuschlagende Autotür

zuschlagende autotuer

Eine Autotür der Seitenlänge a und der Masse M mit homogener Massenverteilung sei an der Stelle (xA,0) am Auto verankert, das aus dem Stand mit konstanter Beschleunigung b in positive x-Richtung anfährt.

Zunächst parametrisieren wir die Bewegung des Schwerpunktes der Autotür durch die generalisierte Koordinate \(\phi\): $$\vec{r_s}=\begin{pmatrix} x_s \\ y_s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_A - \sin(\phi) \frac{a}{2} \\ \cos (\phi) \frac{a}{2}  \end{pmatrix} \qquad \dot{\vec{r_s}}=\begin{pmatrix} \dot{x_A} - \cos (\phi)\frac{a}{2}\dot{\phi} \\ -\sin(\phi)  \frac{a}{2}\dot{\phi} \end{pmatrix}$$ Die vorliegende Zwangsbedingung ist holonom und rheonom.

Es folgt das Aufstellen der Lagrangefunktion \(L(\phi,\dot{\phi},t)\), wobei die kinetische Energie in einen Translations- und einen Rotationsanteil bzgl. des Türschwerpunkts S zerlegt wird. $$\begin{align} L=T-V \\ & V = 0 \\ & T = T_{rot} + T_{trans} = \frac{1}{2} M \dot{\vec{r_s}}^2 + \frac{1}{2}\Theta\dot{\phi}^2 \\ &  \Theta=\frac{1}{12}M a^2\end{align}$$ $$L = \frac{1}{2} M ((\dot{x_A}-\cos(\phi)\frac{a}{2}\dot{\phi})^2 + (-\sin(\phi)\frac{a}{2}\dot{\phi})^2) + \frac{1}{24} M a^2 \dot{\phi}^2 \\ \Rightarrow L = \frac{1}{2} M (\dot{x_A}^2 - \cos(\phi) a \dot{\phi} \dot{x_A} + \frac{a^2}{4} \dot{\phi}^2) + \frac{1}{24} M a^2 \dot{\phi}^2$$

Um die Bewegungsgleichung aufzustellen, nutzen wir die Euler-Lagrange-Gleichung, die im Einklang mit dem Hamiltonschen Prinzip sicherstellt, dass das Wirkungsfunktional über der Lösung extremal wird. $$\frac{\partial L}{\partial \phi} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = 0
\\ \frac{\partial L}{\partial \phi} = \frac{1}{2} M \sin(\phi) a \dot{\phi} \dot{x_A}
\\ \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = \frac{1}{2} M ( - \cos(\phi) a \dot{x_A} + \frac{a^2}{4} 2 \dot{\phi}) + \frac{1}{24} M a^2 2 \dot{\phi}
\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = \frac{1}{2} M ( - \cos(\phi) a \ddot{x_A} + \sin (\phi) \dot{\phi} a \dot{x_A} + \frac{a^2}{4} 2 \ddot{\phi}) + \frac{1}{24} M a^2 2 \ddot{\phi}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2} M \sin (\phi)  a \dot{\phi} \dot{x_A} - \frac{1}{2} M ( - \cos (\phi)  a \ddot{x_A} + \sin (\phi) \dot{\phi} a \dot{x_A} + \frac{a^2}{4} 2 \ddot{\phi}) - \frac{1}{24} M a^2 2 \ddot{\phi} = 0$$

Hieraus folgt mit \(\ddot{x_A} = b\) die analytisch nicht lösbare Bewegungsgleichung $$\ddot{\phi} - \frac{3}{2}\frac{1}{a}\cos(\phi) b = 0.$$

Die numerisch berechnete Lösung \(\phi(t)\) ist für a = 1 und b = 2 dargestellt. Die Anfangsbedingungen wurden zu \(\phi(0) = 0\) und \(\dot{\phi}(0) = 0\) gewählt. Es handelt sich um keinen sinusförmigen Verlauf.

zuschlagende autotuer phi t

Weiterhin zeigt der folgende Plot die Zeitspanne T, die die Tür zum Zuschlagen benötigt, in Abhängigkeit von den Variablen a und b. Die Tür gilt dann als zugeschlagen, wenn \(\phi(t = T) = \frac{\pi}{2}\) erreicht ist.

zuschlagende autotuer a b T

Hinweis: Eine andere Lösungsmöglichkeit besteht darin, die beim Anfahren des Autos zuschlagende Autotür als starres Pendel mit Aufhängepunkt (xA,0) zu interpretieren, deren Schwerpunkt S einer Art Gravitationskraft \(F_G = M b\) ausgesetzt ist.


2016-01-02 22:30:50