Messung der Geschwindigkeit und der Höhe eines Flugzeugs mit dem Mikrofon (Doppler-Effekt)

Wir wollen die Geschwindigkeit und den Abstand eines passierenden Objekts mit möglichst einfachen Mitteln messen. Dies ist, wie der folgende Beitrag zeigt, unter Ausnutzung des Dopplereffekts leicht möglich, solange es sich um ein schallemittierendes Objekt handelt, das sich mit annähernd konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegt.

Theorie

 



Fig. 1: Skizze zur Herleitung des zeitlichen Frequenzverlaufs.

Der zu erwartende zeitliche Frequenzverlauf, wie ihn der ruhende Beobachter misst, ist unter Berücksichtigung des Doppler-Effekts durch folgenden Zusammenhang gegeben:

$$f(t) = \frac{f_0}{1+\frac{v^2 t}{\sqrt{h^2 + v^{2}t^{2}}c}}$$

Dabei ist der Abstand zwischen Signalquelle und Beobachter bei t = 0 minimal, nämlich h, f0 die Frequenz, mit der die Signalquelle sendet und c die  Ausbreitungsgeschwindigkeit des Signals. In Luft bei 25°C beträgt sie (für Schall) 346.4 ms-1.

Herleitung: Die Doppler-Verschiebung für einen ruhenden Empfänger wird durch \(f = \frac{f_0}{1+\frac{v'}{c}}\) beschrieben, wenn v' für t > 0 positive und für t < 0 negative Werte annimmt. v' ist die Geschwindigkeitskomponente des Flugobjekts in Richtung des Beobachters, d.h. die zeitliche Änderung des Betrags des Vektors, der vom Beobachter zum Flugobjekt zeigt. Bezeichnet s den Abstand zwischen dem Ort der Signalquelle zum Zeitpunkt t und ihrem Ort zum Zeitpunkt t = 0, so gilt mit dem Satz des Pythagoras für den Betrag des Ortsvektors \(\vec{r}\) \[|\vec{r}|=\sqrt{h^{2} +s^{2}}=\sqrt{h^{2} +v^{2} t^{2}}\] Für v' folgt damit $$v'=\frac{dr}{dt}=\frac{v^2 t}{\sqrt{h^2 +v^2 t^2}},$$was wir in die Formel für die Doppler-Verschiebung einsetzen können, um zum Ziel zu gelangen.

Ist die Signalquelle noch sehr weit weg, d.h. für  t → -∞, so bewegt sie sich näherungsweise mit konstantem v' auf den Beobachter zu. Die vom Beobachter gemessene (gehörte) Frequenz weicht aufgrund des Doppler-Effekts von der tatsächlichen Sendefrequenz um einen festen Betrag  Δf1 = |f(t → -∞) - f0| von f0 ab. Analoges gilt für t → +∞ mit einer Frequenzverschiebung von Δf2 = |f(t → +∞) - f0|. Je näher das sendende Objekt am Beobachter ist, desto mehr macht sich der Abstand h des Beobachters zur Flugbahn in einem abnehmenden v' und damit in einer kontinuierlichen Verringerung der gemessenen Frequenz bermerkbar. Für t=0 gilt v' = 0, d.h. zu diesem Zeitpunkt muss die gemessene Frequenz f mit f0 übereinstimmen. Da jene Relativgeschwindigkeit für die Fälle t → -∞ und t → +∞ betragsmäßig geich ist, folgt für die Doppler-Effekt-bedingten Frequenzverschiebungen  Δf1 = Δf2. Hieraus wird ersichtlich, dass der Graph von f(t) punktsymmetrisch bzgl. t = 0 ist.

 

Anwendung

Betrachten wir hierzu nun eine experimentelle Anwendung: Das Geräusch eines in unmittelbarer Nähe vorbeifliegenden Flugzeugs. Wir wollen anhand der akustischen "Spur", die das Objekt hinterlässt, seine Geschwindigkeit v und seinen minimalen Abstand zum ruhenden Beobachter h bestimmen.

Wenn wir die Audiospur des YouTube-Videos genauer untersuchen und mit Hilfe von Audacity, einem freien Audioeditor, vom relevanten Ausschnitt eine Darstellung des zeitlichen Frequenzspektrumsverlaufs ("Sonogramm") erzeugen, ergibt sich der in Fig. 2 dargestellte Verlauf. Er ist nicht nur im Frequenzbereich zwischen 6 kHz und 7 kHz zu beobachten, sondern tritt aufgrund der Komplexität des Geräuschs und der damit verbundenden Obertonverteilung in den verschiedensten Frequenzbändern auf. Welches davon für die Untersuchung herangezogen wird, tut nichts zur Sache, da die Frequenzmodulationen überall dem selben nach der obigen Formel zu erwartenden Schema folgen und sich nur um ein von f0 abhängigen Skalierungsfaktor unterscheiden, der bei festgelegtem f0 für die Auswertung der Kurve keine Rolle spielt. Vermutlich kann das vielfache Vorhandensein des Musters im gesamten Sonogramm zur Verbesserung der Ergebnisungenauigkeit ausgenutzt werden, worauf hier aber im Folgenden nicht eingegangen wird.

 

Fig. 2: Mit Audacity erzeugte Darstellung des zeitlichen Verlaufs des Frequenzspektrums (time-frequency plot). Pink bedeutet starke, blau schwache Intensität. Nach rechts ist die Zeit, nach oben die Frequenz aufgetragen.

 

Die in Fig. 2 eingezeichneten Hilfslinien erlauben das Ablesen einer Reihe von Datenpunkten, die den gemessenen Frequenzverlauf festhalten. Je zahlreicher und genauer abgelesen wird, desto präziser und treffsicher gestaltet sich die Suche nach einem Ergebnis. Für unsere einfache Betrachtung genügen die in Tab. 1 aufgelisteten Datenpunkte.

 

 
Zeit t/s Frequenz f/Hz
-1.2 6940
-0.45 6900
-0.20 6850
-0.05 6800
0 6775
0.15 6700
0,7 6610

 

Tab. 1: Aus Fig. 2 extrahierte Messwerte für f(t).

 

Die Zeiten in Tab. 1 sind Relativzeiten bzgl. des Zeitpunkts minimalen Abstands, für den t = 0 gesetzt wird. Aus Fig. 2 kann unter Ausnutzung der oben angesprochenen Punktsymmetrie bzgl. t = 0 (bzw. bzgl. t ~ 2,7s in der Abbildung) aus dem Mittelwert der asymptotischen Grenzwerte (schwarze Linien) f0 auf  6775Hz bestimmt werden (blaue Linie).

Nun gilt es, die Parameter v und h zu finden, für die der mit obiger Formel beschriebene theoretische Verlauf die in Tab. 1 festgehaltenen Messdaten am besten approximiert. Hierfür können nach Abschätzen grober Anfangswerte v und h manuell immer weiter angepasst werden, bis sich ein zufriedenstellendes Ergebnis einstellt. Oder man verwendet eine geeignete Software, beispielsweise Mathematica, und lässt die gewünschte Aufgabe automatisch ausführen:

Doppler[t_, T_, v_, h_, f0_] := f0/(1 + (+v^2*t)/(Sqrt[h^2 + v^2 t^2]*c[T]));`
data = {{-1.2, 6950}, {-0.45, 6900}, {-0.20, 6850}, {-0.05, 6800}, {0,6775}, {0.15, 6700}, {0.8, 6610}};
model = NonlinearModelFit[data, Doppler[t, 25, v, h, fv], {{v, 8}, {h, 4}}, t]
model["ParameterTable"]

Man beachte, dass sich die gleichzeitige Suche nach zwei Parametern in diesem Fall einfach gestaltet, da sich ihre Variationen völlig verschieden auf den Graphen von f(t) auswirken. Während v den Abstand Δf1 + Δf2 der beiden horizontalen Asyptoten bestimmt und die Streckung der Kurve in f-Richtung vorgibt, beeinflusst der Parameter h die Streckung in t-Richtung.

Für unser Beispiel lauten die von der Software gefundenen Parameter h = 3.9 m und v = 33 km/h bei einer geschätzten Außentemperatur von 25°C. Berücksichtigen wir die Tatsache, das es sich bei dem Fluggerät im YouTube-Video um ein Modellflugzeug handelt, erscheinen diese Werte plausibel. Fig. 3 erlaubt einen direkten Vergleich der Messpunkte (in rot) und des gefundenen optimalen Verlaufs (in blau) und veranschaulicht die Anpassungsgüte.

 

 

Fig. 3: Fit zur Bestimmung der Variablen h und v.

 

Offensichtlich ist es also unter Ausnutzung des Doppler-Effekts möglich, die Geschwindigkeit eines akustisch aktiven Objekts sowie außerdem sein Abstand zum Beobachter mit einfachstem Equipment, nämlich einem Mikrofon, zu ermitteln. Bei bekanntem Abstand oder bei bekannter Geschwindigkeit verbessert sich die Güte der jeweils anderen Variable dramatisch. Der Einfluss der Temperatur auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Signals im Medium (Luft) ist in der Regel vernachlässigbar klein und ggf. durch eine Schätzung / Messung ausreichend behandelbar.

 

Weiteres Beispiel

Ein Flugzeug befindet sich im Landeanflug und fliegt nahezu senkrecht über den Beobachter hinweg (siehe dazu dieses YouTube-Video bei 2:40).

Audacity liefert das in Fig. 4 gezeigte Sonogramm.

Fig. 4: Passagierjet in Flughafennähe. Von den beiden zu sehenden akustischen Spuren wurde die linke zur Auswertung herangezogen.

Unter der (vermutlich falschen, aber hier zwecks Einfachheit getroffenen) Annahme, dass sich das Flugzeug während des Vorbeiflugs mit konstanter Geschwindigkeit und in konstanter Höhe bewegt, ergibt eine Auswertung der Daten nach der selben Methode wie oben, dass das Flugzeug mit ca. 350 km/h oder 190 Knoten in einer Höhe von 830 m oder 2700 ft über dem Erdboden fliegt.

Das nicht-asymptotische Verhalten des Verlaufs auf der linken Seite in Fig. 4 kann als Verlangsamung des Flugzeugs für die nahende Landung interpretiert werden.


2015-12-16 16:39:57