Übersicht zu Drehmatrizen

 

Drehmatrizen im dreidimensionalen Raum

 

  um x-Achse um y-Achse um z-Achse

Drehung eines Vektors

Drehmatrix \(R\)

\(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos(\alpha) & sin(\alpha) \\
0 & -sin(\alpha) & cos(\alpha) \\
\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}
cos(\alpha) & 0 & -sin(\alpha) \\
0 & 1 & 0 \\
sin(\alpha) & 0 & cos(\alpha) \\
\end{pmatrix}\)
 \(\begin{pmatrix}
cos(\alpha) & sin(\alpha) & 0 \\
-sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0\\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\)

Drehung des Koordinatensystems

Drehmatrix \(R^{T}\)

\(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\
0 & sin(\alpha) & cos(\alpha) \\
\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}
cos(\alpha) & 0 & sin(\alpha) \\
0 & 1 & 0 \\
-sin(\alpha) & 0 & cos(\alpha) \\
\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}
cos(\alpha) & -sin(\alpha) & 0 \\
sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0\\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\)

 

Drehmatrizen im zweidimensionalen Raum

 

Drehung eines Vektors

Drehmatrix \(R\)

\(\begin{pmatrix}
cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\
sin(\alpha) & cos(\alpha)  \\
\end{pmatrix}\)

Drehung des Koordinatensystems

Drehmatrix \(R^{T}\)

\(\begin{pmatrix}
cos(\alpha) & sin(\alpha) \\
-sin(\alpha) & cos(\alpha)  \\
\end{pmatrix}\)

 

Anwendung der Drehmatrizen

Gedrehter Vektor \[\vec{v}' = R \vec{v}\]

Vektor im gedrehten Koordinatensystem \[\vec{v}' = R^{T} \vec{v}\]

Hintereinanderausführung von Drehungen 1, 2 & 3 \[\vec{v}' = R_3 R_2 R_1 \vec{v}\]

Bei positivem Winkel \(\alpha\) erfolgt die Drehung im Rechtssystem gegen den Uhrzeigersinn.


2016-02-03 15:16:28